Почему в формуле момента инерции входит интеграл? из источника

Потому что у тебя масса распределена непрерывно.

момент инерции тела равен сумме масс элементарных частиц, помноженных на квадрат их расстояния до оси вращения.

для целого тела (непрерывного) количество этих элементарных частиц будет бесконечным, а эта сумма уже будет интегралом по поверхности тела.

А как должно быть по вашему?

Потому что общий момент зависит от моментов бесконечного количества бесконечно малых фрагментов общей массы.