Можно ли привлечь к ответственности мужчину, бросившего своего ребенка?

нет... брошенных детей забирает государство в детский дом

какими способами Вы его принудите?

Если он содержит ребёнка то и алиментов не будет... а вот с вас может взыскать

Заставить жить и воспитывать нельзя: нет для этого правовых механизмов и норм...
А вот алименты можно через суд взыскивать, если будет с чего...

заниматься им, развлекать, обучать, жить даже с ним - заставить невозможно.