Может ли существовать нулевой остаток?

Да. 5/5=1, остаток 0.

22/2=11 остаток 0

Когда делится без остатка

Да, может.
Следующий вопрос.

Если понимать "делится без остатка", то можно понять, как "остатка нет".

В школьной программе - то да, то нет, я не успеваю за педагогами подсматривать.
А у математиков, конечно, может.