Как запомнить почту и пароль??

Пробовали включить автосохранение паролей в браузере
для почты Mail.Ru ?
Поскольку Вы не указали каким браузером пользуетесь,
воспользуйтесь информацией в помощи здесь:
https://help.mail.ru/mail-help/helpful/autosave

Либо можете сообщить о проблеме в службу поддержки
почты Mail.Ru с помощью данной формы:
https://help.mail.ru/surveys/claims

Если возникают проблемы по использованию почты Mail.Ru
можно написать письмо в службу поддержки Почта@Mail.Ru
напрямую на этот адрес:
mailsupport@corp.mail.ru
(в заголовке письма укажите тему проблемы)
Ответ от службы поддержки приходит обычно в течение 5 рабочих дней.
_______________

Как вариант, можно настроить вход в каждую почту
на разных браузерах, выход из почты не нажимать
по завершению работы, а просто закрывать браузер.
Тогда во "входящие" можно будет попадать сразу
https://e.mail.ru/messages/inbox/
без ввода логина и пароля.