Какую программу используют при добавлении анимации к видео ?

Любая программа для проф. монтажа

Ну практически в любом видеоредакторе.
Однако я думаю, что и без ФотоШопа тут не обошлось (в нем проще всего делать анимашки)
Алгоритм примерно следующий - сохраняется какой-нибудь ключевой кадр из видео. В ФотоШопе к нему делается и "прикручивается" GIF-ка. Это делается для того, чтобы привязаться к кадру и соблюсти размеры.
Потом эта GIF-ка накладывается на видео и двигается в соответствии с кадрами, где-то закрываясь масками (когда, например, исчезает анимешка в тостере). Хотя тут можно и по другому сделать - разрезать один раз видео маской на две части и анимешку запустить между ними. В итоге верхняя дорожка (в данном случае нижняя часть тостера) будет перекрывать анимешку, она как-бы будет входить между двух слоев-дорожек.
Лично я бы так делал.

Анимировать можно различными программами. И простыми и профи. Зависит от опыта пользователя. Делать (рисовать) картинки можно начать с простой программы Пайнт и по нарастающей до профи программ. Уроков по анимированию полно в вэбе.

например связка Adobe Illustrator + Adobe After Effects. В первой - заготовки персонажей, во второй - анимация и сборка с видео