Как умирают археи? Или они вечны? Они так-то делаться

Возможно, что так же, как и эубактерии. При делении один из концов (полюсов) клетки не синтезируется заново. После ряда делений у некоторых потомков остаются очень "старые" концы, в которых накоплены дефекты клеточной оболочки (органика - вещь неустойчивая и постоянно нуждается в обновлении). В конце концов клетка лопается в этом месте.
Ну и всякие бактериофаги, изменения среды также губят их.

Похоже, что они извечные и безсмертные,

Они играют роль в круговоротах углерода и азота. Ни один из известных представителей архей не является ни паразитом, ни патогенным организмом, однако они часто бывают мутуалистами и комменсалами. Некоторые представители являются метаногенами и обитают в пищеварительном тракте человека и жвачных, где они помогают осуществлять пищеварение. Метаногены используются в производстве биогаза и при очистке канализационных сточных вод, а ферменты экстремофильных микроорганизмов, сохраняющие активность при высоких температурах и в контакте с органическими растворителями, находят своё применение в биотехнологии.