Может ли опекаемый снимать деньги на собственные нужды сам?

Шиш ему

нет, не может... Во-первых, жуткая неразбериха с правовыми понятиями в глове у автора вопроса.. В России нет понятия "опекаемый", есть понятие "подопечный"... Во-вторых, если Ваш друш усыновил детдомовца, то этот ребенок юридически считается его родным, а вот никаких пособий на столь взрослого родного ребенка медвежья власть и в страшном сне не видит. В-третьих, все РАЗУМНЫЕ нужды такого "дитяти" оплачиваются его законным представителем (родителем, усыновителем, опекуном или попечителем), у самого "ОПЕКАЕМОГО" )три "ха-ха"!Ё) есть возможность совершать мелкие бытовые (повседневные) сделки
Судя по стилю и слогу текста вопроса, Вы и есть тот самый "О... ый"

естественно нет