В каких случаях и как употребляется предлог "по" с падежной формой? Какие на это есть правила?

По .уй.

По приезде – это предложный падеж. Мы привыкли, што предлог ПО употребляется с дательным, но он и с предложным употребляется тоже. Што в этом такого удивительного? Предлоги управляют разными падежами.

Скучаю по вас – это тоже предложный падеж.

Предлог (церковнославянская калька с греч. πρόθεσισ, лат. praepositio — «предшествование», «положение перед» 1) — одна из служебных частей речи, выражающая синтаксическую связь некоторого слова с именной группой, а также семантические отношения участника ситуации, обозначаемого этой именной группой, с ситуацией или другими её участниками.

Предлог может выражать зависимость именной группы от глагола (стремиться к счастью), в том числе связки (быть в ужасе, в страхе), существительного (письмо к другу), прилагательного (отличный от других, совместимый с системой). В ряде случаев дискуссионно, от какого слова зависит именная группа с предлогом (или же является «детерминантом», относящимся к предложению в целом), например в количественных группах: пришло около десяти человек, на каждом дереве висело по десять яблок, в названиях: О семантике 2а и др., см. также ниже.

Предлог управляет именной группой в определённом падеже. Семантика предлогов близка к семантике падежей (ср. синонимию: письмо другу — письмо к другу; мыть мылом — мыть с мылом), при этом 3 предлогов покрывает более широкий спектр значений (например, беспредложные падежи не выражают значений типа выражаемых предлогами у, вокруг или взамен, см. ниже; дать кому-то не тождественно дать для кого-то). Выбор значения предлога зависит от значения существительного (ср. сочетание с абстрактными существительными, за час, и с конкретными, за дверь).

Вы хотели сказать - с формой предложного падежа. Да, с "по" во временнОм значении (=после) в норме нужен предл. падеж, а часто встречающиеся "по приезду" или "по окончанию" выглядят нелепо и показывают нечеткое знание языка. Я думаю, тут надо искать не правило, а хороший словарь, где разъяснялось бы употребление падежей с предлогами. Попробуйте заглянуть в "Орфоэпический словарь русского языка. Произношение, ударение, грамматические формы" - там и это должно быть.

По приезде – если в предложении предлог “по” означает событие, после которого что-либо происходит, то существительное употребляется только в предложном падеже (окончание на “е”). Словосочетание означает “приехав”, “после приезда”.
По приезде Ивана мы сразу пошли в кафе
По приезде мы сразу позвонили маме
Дима сразу всех обзвонил по приезде
По приезду – довольно редкая конструкция, но также может встретиться в русском языке. Контекст подразумевает то, что “приезд” рассматривается как предмет и по его признакам проводится суждение. Существительное в данном случае будет стоять в дательном падеже. По приезду Саши я понял, что в дороге что-то случилось – приезд Саши (действия, которые он выполнил во время приезда) дали понять, что по дороге что-то случилось. “Приезд” рассматривается как процесс с определенными признаками.