Можно ли в России ездить на рикше по дорогам общего пользования

не по шоссе можно

лучше не рискуй!

если заплатишь налог, страховку, ТО, пошлину

Если это Т/С сертифицировано, то да.
Права пока не нужны только на велосипед.

Это кого ты собрался запрячь в минус 20 и кого катать в открытом куске дерева хочешь?
Где в России так тепло сейчас, что от духоты открытые со всех сторон "кабриолеты" подавай?

По ПДД это велосипед. Так что можно, но не всегда и не везде.