Даны уравн. двух сторон прямоугольника х—2у=0 х—2y+15=0 и уравнение 1 из его диагоналей 7x+y—15=0
Найти вершины прямоуг.

Хех, ну, значит, поехали.

Для начала найдем точки пересечения каждой из сторон прямоугольника с диагональю. Это будут 2 противоположные вершины прямоугольника. Соответственно, решаем 2 пары систем уравнений:

1. {х — 2у=0; 7x+y—15=0}. Получаем точку A (2,1).
2. {х — 2y+15=0; 7x+y—15=0}. Получаем точку C (1,8).

3. Далее. Уравнение произвольной прямой, перпендикулярной стороне прямоугольника (x-2y=0) будет выглядеть так: y=-2x+c, где с - произвольная константа.

4. Подставим в это уравнение координаты точки A. Получим 1=-2*2+c; 1=-4+c; Отсюда c=5. Получили y=-2x+5. Это уравнение стороны прямоугольника.

5. Для нахождения точки B решим систему из уравнения двух сторон прямоугольника:
{y=-2x+5; х — 2y+15=0). Получаем точку B (-1,7).

6. Чтобы найти точку D, можно повторить пункты 4 и 5, только вместо точки А подставлять точку С в п. 4 и вместо х — 2y+15=0 подставить х — 2у=0 в пункте 5. однако, есть способ проще:

7. Вектор BC равен вектору AD. А вектор BC - это разность координат точек C и B, т. е. (2,1). Значит, координаты точки D - это координаты точки A плюс вектор BC, т. е. D(4,2).

Ответ:

A (2,1)
B (-1,7)
C (1,8)
D (4,2)