Имеет ли какое право муж в гражданском браке на своего ребенка, который не записан на него?

Внебрачный муж - сильно сказано!
Блин, хоть коллекционируй такие перлы)))
По сути дела.
Никаких прав на ребенка он не имеет и органы опеки тоже не имеют права вмешиваться.
Главное, не признавайтее нигде его факт отцовства.
Отец имеет право обратиться в суд о признании факта отцовства, через анализ ДНК. Тогда у него будут права на ребенка. А у вас право на алименты.
А пока вам лучше не суетиться и сидеть тихо, не привлекать внимания. Не писать никуда, что "отец ребенка не оформлен" этим вы сами подтверждаете, что он - отец.
Если он пойдет в суд отсудивать ребенка, вам нужны будут факты, что он не платил алименты и не занимался ребенком, чтобы суд ему не отдал.

Как он докажет, что это его ребёнок? Никак.. только если через суд с заказом генетической экспертизы, но без согласия матери её делать не будут.

через суд докажет отцовство.. ДНК экспертиза.. алименты будет платить.. не будет - посадишь.. объясни перспективу..

Какие могут быть связи у этого полудурка? Тетя у него не идиотка же, работу потерять из-за него. Ребенку он со всех сторон чужой дядя. Хочет, может установить отцовство. Но алименты платить придеться. Да и никто ребенка от матери не отнимет. Не бойтесь. А этого папульку шлите лесом.

захочет - заберет, но только при грамотном подходе, смотря кто возьмет на себя этот подход

Какие еще связи в Опеке? Не смешите. Если этот "никто и звать его никак" захочет, он может установить отцовство. С согласия вашей сестры. Только по решению суда. После этого обязан будет начать выплачивать алименты.

Изначально устанавливает через суд отцовство, а потом говорить и делать будет.

Тётя из органов опеки не будет помогать племяннику --ей работа и з/п дороже. Тем более, что она и не может ничего сделать.

нет, ибо ребёнка у него нет