Почему на ответах нельзя поставить анимированную аватарку?

Потому что не предусмотрено разработчиками.

Когда-то такая возможность поставить анимацию (гифку) на аватарку
была у всех пользователей (несколько дней существовала,
ссылкой на лазейку делились многие друг с другом), но лавочку
потом прикрыли.
У тех, кто успел когда-то поставить анимацию (гифку) на аватар,
она сохранилась и по сей день.

У меня, кстати, тоже тогда была возможность поставить себе гифку
на аватарку, но я не захотела, привыкла уже к своей аватарке,
которая и сейчас у меня в профиле :)
А вот моя подруга поставила себе тогда гифку на автарку
https://otvet.mail.ru/profile/id7322110/
по сей день существует.

Источник: ©