У ребенка нет отца, раз он не записан в свидетельстве о рождении, а значит права вывезти ребенка из РФ у него НЕТ! Признает отцовство (отец будет внесен в свидетельство о рождении то, согласно ст. 20 ФЗ "О порядке выезда и въезда в РФ"
ст. 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_11376/по этому. если отцовство будет установлено, Вы можете наложить запрет на выезд ребенка с отцом. Как это сделать, читайте :
https://www.gosuslugi.ru/help/news/2019_06_13_ban_on_leaving_a_child_abroad Удачи!
Стоит ли записывать ребёнка в ЗАГСЕ на него как на отца и давать ему его фамилию или не надо во избежании этих проблем?