Как называется старейшая русская песня, дошедшая до наших дней в древних текстах?

Песни же не в летописях находят, а в сборниках. Самый старый сборник древних российских песен/стихов принадлежит Кирше Данилову. Он открывается песней про "Саловья Будемировича". Мелодия этой песни легла в основу песни Садко из оперы-былины "Садко" Римского-Корсакова. О древности этой мелодии говорит её ладовый строй (чистые лады, ритмика и т. д.). Ещё один пример древней мелодии - хор "Лель таинственный" из "Руслана и Людмилы" Глинки. Он настолько выделяется из песенно-лирической мелодики своим ритмом, ладом и глубокой-монодическим принципом, что современному слушателю, незнакомому с византийскими образцами музыки, кажется очень странным. Там нет ничего танцевального или ещё какого знакомого момента. По факту хор этот продвигают как "часть свадебного языческого обряда "(что на мой взгляд не совсем справедливо, но я об этом ниже скажу).
То есть, самые древние песни любого народа - это обрядово-календарные песни. А у русских есть ещё и эпические песни, былины. Вот какие и собраны у Кирши Данилова (см. выше)
Возвращаюсь к Глинке, поскольку он профессионал и очень бережно относится к сокровищам родной культуры. Хор Лель - образец наиболее древнего вида музыки вообще. Это музыка византийских песнопений, то есть, той музыки, которая легла в основу музыкального сопровождения православной традиции. А в традицию она попала из сохранивших свою актуальность (хоть и без слов!) мелодий древнегреческих гимнов, посвященных либо Апполону, либо Орфею.
Так что, и Богородица, о которой вы говорите, возможно происходит из того же источника.

Если бы я вернулась в консерваторию сейчас, немедленно бы начала писать работу о влиянии византийских гимнов на русскую народную музыку.

Ещё одна категория древних песен - трудовые. Там тоже можно найти древние образцы.