Это слово обнаруживает колебания в произношении.
Орфоэпический словарь под ред. Р. И. Аванесова указывает
как правильное только произношение с мягким "н",
т. е. "шинЕль". В словаре ударений приводятся оба
варианта.
А вот интересное свидетельство бывшего курсанта
(из блога) :
http://kvvidkus.livejournal.com/7439.html"Одна моя знакомая (ну очень культурная и образованная
в грамматике и орфографии) мне говорила что правильно
произносить <шин- е -ль> с мягким <е>....а у нас все и
всегда говорили <шин-э-ль>..."
Общая закономерность здесь такова:
по мере освоения языком заимствованных слов с гласным -е-
произносившаяся твёрдо предшествующая согласная
получает мягкое произношение.
АкадЭмия ->акадЕмия, пионЭр -> пионЕр, крЭм -> крЕм,
бассЭйн ->бассеЕйн и т. д.
Процесс этот, однако, отличается непоследовательностью.
В очень многих давно освоенных заимствованиях по-прежнему
произносится твёрдое -е-:
тЭмп, энЭргия, тандЭм, дЭтЭктив, интЭрвал, диспансЭр,
резюмЭ и т. д.
По моим наблюдениям, более других сопротивляются
смягчению последующего -е- альвеолярные согласные: д, т, н.
Сам произношу: "шинЭль", с твёрдым "н". Вариант "шинЕль"
воспринимаю как просторечный (примерно как "энЕргия").