Ответы Mail
Домашние задания
Русский язык
Литература
Математика
Алгебра
Геометрия
Иностранные языки
Химия
Физика
Биология
История
Обществознание
География
Информатика
Экономика
Другие предметы
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Лучший ответ
Олег Кудинов
(2729)
3 года назад
Вопрос решен, но небезынтересна (надеюсь) его геометрическая интерпретация. После банального "алгебраического" наблюдения, что для каждого минимума (сколько бы их не было) a,b,c ∈[0,1], стоит взглянуть на рис. Путнику требуется добраться из вершины B прямоугольника ABCD в его вершину D по ломаной из 3-х звеньев, полупериметр прямоугольника равен 3. Ясно, что кратчайший путь - прямой (по диагонали BD), после чего все сводится к известной однопараметрической задаче о кратчайшей диагонали в прямоугольнике с данным периметром. Можно сослаться, а можно решить честно - с одной переменной a.
Остальные ответы
Alexander Alenitsyn
(760407)
3 года назад
a=b=c=1/2
из соображений симметрии
из соображений симметрии
ТатьянаПросветленный (40156)
3 года назад
Александр, с Вашего разрешения добавлю.
Применим неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим:
√((a²+(1-b)²)/2) ≥ (|a|+|1-b|)/2,
√((b²+(1-c)²)/2) ≥ (|b|+|1-c|)/2,
√((c²+(1-a)²)/2) ≥ (|c|+|1-a|)/2.
Сложим почленно и умножим на √2, получим:
√(a²+(1-b)²)+√(b²+(1-c)²)+√(c²+(1-a)²) ≥ 1/√2*(|a|+|1-b|+|b|+|1-c|+|c|+|1-a|) ≥ по свойству модуля ≥ 1/√2*(a+1-b+b+1-c+c+1-a) = 3/√2.
Ответ: 3/√2, достигается при a=b=c=1/2.
Применим неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим:
√((a²+(1-b)²)/2) ≥ (|a|+|1-b|)/2,
√((b²+(1-c)²)/2) ≥ (|b|+|1-c|)/2,
√((c²+(1-a)²)/2) ≥ (|c|+|1-a|)/2.
Сложим почленно и умножим на √2, получим:
√(a²+(1-b)²)+√(b²+(1-c)²)+√(c²+(1-a)²) ≥ 1/√2*(|a|+|1-b|+|b|+|1-c|+|c|+|1-a|) ≥ по свойству модуля ≥ 1/√2*(a+1-b+b+1-c+c+1-a) = 3/√2.
Ответ: 3/√2, достигается при a=b=c=1/2.
Alexander Alenitsyn
Высший разум
(760407)
Tania Tanechka, спасибо, я собирался провести подобное рассуждение, но поленился ((
Алексей Попов (Океан, Студент)
(527782)
3 года назад
Будем использовать формулу Если А ( x₁, y₁) ,B (x₂,y₂) то
AB = √ ((x₁- x₂)² +( y₁- y₂)²)
Рассмотрим точки A(a,1) , B(0,b), C((c-1), 0), D(-1, (a-1))
AB = √(a² + (1-b)²)
BC = √(b² +(1-c)²)
CD = √(c² +(1-a)²)
Тогда выражение примет вид AB + BC+CD
и принимает наименьшее значение если все точки лежат на одной прямой По координатам определяем, что точки A и D крайние, тогда
AD=√((a+1)² +(2-a)²) = √2a²-2a+5
при a = ½ наименьшее значение выражения 3√2/2
Через точки A (½, 1) и D( -1,-½) проходит прямая y = x+½
Точки B.C лежат на этой прямой Отсюда находим
b=c =a = ½
Данное выражение принимает наименьшее значение при
b=c =a = ½ ,равное 3√2/2
AB = √ ((x₁- x₂)² +( y₁- y₂)²)
Рассмотрим точки A(a,1) , B(0,b), C((c-1), 0), D(-1, (a-1))
AB = √(a² + (1-b)²)
BC = √(b² +(1-c)²)
CD = √(c² +(1-a)²)
Тогда выражение примет вид AB + BC+CD
и принимает наименьшее значение если все точки лежат на одной прямой По координатам определяем, что точки A и D крайние, тогда
AD=√((a+1)² +(2-a)²) = √2a²-2a+5
при a = ½ наименьшее значение выражения 3√2/2
Через точки A (½, 1) и D( -1,-½) проходит прямая y = x+½
Точки B.C лежат на этой прямой Отсюда находим
b=c =a = ½
Данное выражение принимает наименьшее значение при
b=c =a = ½ ,равное 3√2/2
Похожие вопросы