Имя Август и Августин это одно и то же?

У имени Августин в Европе есть множество аналогов. В Англии это Остин или Остен, во Франции – Огюстен, в Германии, Чехии – Агустин, в Италии – Агостино, в Греции – Аугустинос. Мужские имена Август и Августин – родственные имена. От имени Августин образовано женское имя Августина (Агустина, Агостина, Ягустина), а от имени Август – Августа (Аугуста, Огаста, Агошта).

Подробнее на https://kakzovut.ru/names/augustin.html

Оба имени произошли от имени римского императра Августа, в честь него и месяц назван. Он был племянник
Цезаря, а в честь Цезаря назван Июль.

Однокоренные несомненно

Нет.
Разница по типу имён Лина и Ангелин.