Решите уравнение cos3x=cosx+sinx
Решить уравнение cos3x=cosx+sinx. Найдите количество различных корней уравнения на промежутке 0<x<360
4cos^3x-3cosx=cosx+sinx
4cos^3x-4cosx=sinx
4cosx(cos^2x-1)=sinx
-4cosx*sin^2x=sinx
sinx=0 OR -4cosx*sinx=1
sinx=0 OR sin2x=-1/2
x=
pi, 7pi/12, 19pi/12, 11pi/12, 23pi/12
Советую проверить. На скорую руку могла что-то потерять.
cos3X = cos(X + 2X) = cosX·cos2X - sinX·sin2X
cosX·(cos2X - 1) = sinX·(sin2X + 1)
cosX·(cos²X - 1 - sin²X) = sinX·(sin2X + 1)
cosX·(-2·sin²X) = sinX·(sin2X + 1)
Исходное уравнение распадается на два уравнения:
1) sinX = 0
2) -2·sinX·cosX = -sin2X = sin2X + 1, sin2X = -½
Общее решение первого уравнения: х=π·k, k € Z.
Общее решение второго уравнения:
х = (7/12)·π + π·l, (11/12)·π + π·l, l € Z.
На промежутке (0°; 360°) находятся корни:
(7/12)·π, (11/12)·π, π, (19/12)·π и (23/12)·π.
Ответ удалён