Теория множеств не вполне логична?

Question

Теория множеств не вполне логична?

gj Ученик (249), закрыт 1 год назад

Множество А - все целые числа: 1,2,3,4,5,... бесконечность.
Множество Б - все числа (включая иррациональные), например: 1, 2.3, 5, 5.345, ПИ.

Почему мощность множества А не равна мощности Б?

Ведь имея бесконечное количество чисел в двух этих множествах, можно образовать произвольным образом из них пары, например 2 соотносится с 4, а 2.11 с 7.
Это как женитьба. Все числа в двух множествах можно поженить.
Ну да, записей этих свадеб будет очень много, и может не быть простого правила как выбирать числам партнёра, но расписать по парам можно любые два бесконечных множества. Поэтому мощности всех бесконечных множеств равны.

Answer 1

Теория множеств создавалась как инструмент для выяснения устройства бесконечных совокупностей объектов. Бесконечность всегда привлекала внимание людей. Термином “бесконечность” сначала обозначали все, что было невозможно сосчитать или перечислить. Бесконечное — это что-то запредельное, невообразимо большое или, напротив, чрезвычайно малое, к чему можно стремиться сколь угодно долго, но достичь которого невозможно.

Противоречивую ситуацию всегда трудно себе представить наглядно, на то она и противоречивая. Поэтому математики и считают противоречивые объекты несуществующими.

Answer 2

Бесконечности бывают разные. Может произойти так, что две бесконечности нельзя сопоставить. Вот эта ссылка, которая первой попалась, здесь должен быть ответ:
https://habr.com/ru/post/445904/
У меня нет времени вникать глубже.

Answer 3

Задача слишком древняя и подробно изложена в учебниках.
Нелогичность (противоречивость) в теории множеств надо искать в другом месте.

Answer 4

Мощности множеств одинаковы, если возможно однозначное отображение одного множества на другое. В твоем случае оно невозможно.

Answer 5

KniLKnoLos Оракул (94139) 2 года назад

ты как всегда ошибаешься

gjУченик (249) 2 года назад

Не всегда. Иногда угадываю что-то.

Answer 6

Потому что есть множества счётные и несчетные. Гуглим "континуум-гипотезу".

Предлагаю Вам провести вот такой эксперимент.

1. Представьте весь натуральный ряд. Просто, отметьте "рисками" все натуральные числа.
2. Какое множество равномощно множеству натуральных чисел? Например, множество дробей с единицей в числителе и чётным знаменателем. Мы всегда можем установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) элементов этих множеств:

1 - 1/2
2 - 1/4
3 - 1/6
4 - 1/8
...
n - 1/(2*n)

Отлично.

А теперь давайте сложим все отрезочки. Какую длину они покроют? Правильно: ровно 1.

Проведем другой эксперимент. Можем ли сопоставить множества рациональных и натуральных чисел? Да, можем, разумеется. Все рациональные числа вообще мы можем записать вот так:

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 3/7
4/1 4/2 4/3 4/1 4/5 4/6 4/7...

Так мы запишем все рациональные числа, причем, по нескольку раз. Но можем ли мы сопоставить им натуральные числа? Да, можем, если будем считать их "змейкой", начиная с левого нижнего угла:

1/1 - 1
1/2 - 2
2/1 - 3
3/1 - 4
2/2 - 5
1/3 - 6

И т. д. Т. е., рациональные и натуральные числа равномощны, так как возможна такая вот биекция. А возможно ли такое биективное отношение для действительных чисел? Упростим себе задачу и рассмотрим только дробную часть. То есть, все действительные числа от 0 до 1:

,111111...
,141592..
,682342...
,863947...

И т. д. Зададим такой алгоритм: генерируются все случайные числа и будем считать, что мы можем все их записать на бесконечной ленте. Мощность множества такого списка будет счетной и равной мощности множества натуральных чисел: первая строка, вторая, третья и т. д.

А теперь посмотрим, можем ли мы сюда втиснуть ещё какое-нибудь число? Прибавим к первой цифре первого элемента единицу, ко второй цифре второго элемента единицу и т. д. В случае девятки, она превращается в ноль. И мы получаем новое действительное число. В нашем случае: ,2534... Этого действительного числа не может быть в нашем списке, так как оно отличается от первого элемента в первой цифре, от второго элемента во второй цифре и т. д. То есть, оно не входит в наш список, но является полноценным легитимным действительным числом. И таких диагональных пополнений -- бесконечное множество. Следовательно, мощность множества континуум больше мощности множества рациональных, натуральных и целых чисел.