Сколько максимум граней может иметь правильный многогранник и почему?
Я нашла информацию о том, что существует только 5 правильных многогранников – тетраэдр (4 грани), куб (6), октаэдр (8), додекаэдр (12) и икосаэдр (20). Если это правда, то это то, что не будет мне давать уснуть сегодня ночью. ПОЧЕМУ не может быть правильного тридцати- или сорокагранника?
Дополню ответ Iлоны: есть теорема о том, что сумма плоских углов в многогранном угле меньше 360 градусов. Отсюда следует, что не существует многогранных углов, у которых каждый плоский угол больше или равен 120 градусов (120*3 = 360), это для шестиугольных граней, а для больших по числу сторон граней - и подавно.
Это только выпуклых. Невыпуклых еще неизвестно сколько можно сделать.
А не может быть по очень простой причине, просто по сумме углов.
Тетраэдр, октаэдр и икосаэдр образуются треугольниками, углы которых 60, а многогранные углы 60 n < 360, n < 6, n=3 или 4 или 5.
Если грань квадрат, то:
n<360, n < 4, n=3. Так можно получить только гексаэрд.
И если грани -- правильные пятиугольники, каждый плоский угол равен 180 (5 – 2) : 5 = 108, 108 n<360, n< n = 3, додекаэдр.
Но вот как только мы берем правильный многоугольник с большим числом граней, то случается магия: его внетренние углы -- L = 180 (6 – 2 ) : 6 = 120. Теперь невозможны никакие углы, даже трехгранные. Значит ни 6ти угольник, ни любой более угольник не сможет лечь в основу многогранника.
"ПОЧЕМУ не может быть правильного тридцати- или сорокагранника?" Набери в поисковике "Как доказать, что Платоновых тел только пять?" Там доказательство совсем не сложное.
https://yandex.ru/images/search?from=tabbar&text=стогранник
Но здесь из разных фигур. Правильный, значит все грани из одинаковых правильных угольников с одинаковыми сторонами.