Может ли 17-летний открыть счет в банке и получать на нем алименты и пособия?

Если дееспособный (прошёл эмансипацию) - может.

Да

С 14 лет

В принципе не запрещено. Но банк может потребовать присутствие родителей, это вписано в правилах многих банков (если обратившемуся нет 18 лет). И вопрос следующий: а кто вам будет перечислять туда алименты? Это не ваше желание-хотение. Получает один из родителей, на иждевении которого находится несовершеннолетний.