Как по-школьному доказать корректность вот такого очень простого построения?

На плоскости отмечены окружность и точка P вне нее (цент не отмечен). Пользуясь только линейкой, построить касательные, проходящие через P.

Построение.
Проводим через P две секущие, пересекающие окружность в точках A, A' и B, B' соответственно.
У четырехугольника AA'B'B строим точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений сторон AB и A'B'.
Прямая (зеленая), проходящая через это две точки, пересекает окружность в искомых точках касания.
(картинка и ссылка на интерактивное построение ниже).

Неформальное объяснение.
Светим из глаза прожектором конусом желтого цвета на ж/д в перспективе.
На земле (если рассматривать землю НЕ в песпективе) желтый кружочек является эллипсом, в него вписан прямоугольник из рельсов и шпал (шпалы - наши секущие).
Контактный рельс, проходящий посередине между двумя обычными рельсами - это зеленая прямая.

План формального док-ва, которое для школы не годится.
Рассматриваем проективное преобразование, переставляющее A<->A' и B<->B'.
Ищем инвариантные множества и поточечно неподвижные множества.
На зеленой прямой находим 4 (4 >=3) неподвижные точки и потому вся зеленая прямая поточечно неподвижна, то есть наше преобразование - гомология.
На окружности находим инвариантное множество из 6 (6 >= 5) точек, а коника задается пятью, поэтому окружность - инвариантна.
Ну и касательные, разумеется, инвариантны, поэтому касаются инвариантной окружности в неподвижных точках, которых у нетождественной гомологии не более чем прямая + еще одна точка (наша P).
Поэтому точки касания - зеленые.