Скажите, когда прописываешься в квартиру проверяет ли ОВМ человека перед пропиской по другим ведомствам?

Да. Через спортлото еще пробивают.

Конечно проверяют.

Естественно, но это не такая долгая и нудная проверка, с направлением и получением запросов и т.д.
Просто, скорее всего, при заполнении регистрационной формы в "текущем режиме" сразу вылезет из базы данных, если что-то не так..

проверяют через СМЭВ.