Можно ли переехать на ПМЖ в город Б и не менять прописку, которая сделана в городе А?

В целом никаких проблем, если не столкнётесь с проблемами и не будет общения с Полицией

Полстраны так живет.

Прописки нет. Есть регистрация по месту жительства и регистрация по месту пребывания.
По идее, Граждане Российской Федерации обязаны регистрироваться по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации.
Плюс военный учёт
Работодатель заставит и др

Можно.

Регистрация по месту жительства может быть одновременно только одна. Можно параллельно иметь временную регистрацию по иному адресу или не иметь, если вы живёте в своей недвижимости или в регионе постоянной регистрации, или у родственников.

Переезжаете в пределах области, не нужна регистрация по месту пребывания или как ее некоторые называют "временная...".В другой области будете снимать квартиру.регистрация по месту пребывания нужна. Если собираетесь на пмж..тогда есть смысл иметь регистрацию по месту постоянного проживания.Иначе все письма.извещения будут приходить по месту регистрации...в другой город....