Мат. анализ, экстремумы фнп
Есть замечательная формула AC - B^2, которая помогает нам выяснить есть ли экстремум в точке поверхности.
Если А > 0, то минимум
Если A < 0, то максимум
Я сейчас решаю задачку, в которой А = 0. Что тогда? Это максимум, минимум? Нигде не могу найти инфу для этого случая
1) Находится критическая точка.
2) Дальше смотрится, что будет, если отойти от критической точки. Если при удалении во всех направлениях функция растет, значит в точке минимум. Если при удалении во всех направлениях функция убывает, значит в точке максимум. Если в одном направлении так, в другом направлении сяк, значит в этой точке нет экстремума.
-
Часто при исследовании на экстремумы функции двух переменных для упрощения пункта (2) используют уже готовый рецепт, связанный с вычислением определителя матрицы вторых производных. Но он далеко не всегда помогает. Если он не помог, тогда переходите просто к пункту (2) в лоб, без готовых рецептов.
эта формула является частью второго производного теста для функций двух переменных. Если A = 0, то тест не работает и вы не можете определить характер критической точки только по этой формуле. Вам может потребоваться использовать другие методы, такие как построение графика или сравнение с ближайшими точками. Вот краткое изложение второго производного теста из первого результата поиска:
Второй производный тест для функций двух переменных:
Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, которая дифференцируема на открытом множестве, содержащем точку (x0, y0).
Точка (x0, y0) называется критической точкой f, если fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 или fx(x0, y0) или fy(x0, y0) не существует.
Чтобы проверить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой, вычислите следующие величины:
A = fxx(x0, y0) B = fxy(x0, y0) C = fyy(x0, y0) D = AC - B^2
Затем:
Если D > 0 и A > 0, то f имеет локальный минимум в точке (x0, y0).
Если D > 0 и A < 0, то f имеет локальный максимум в точке (x0, y0).
Если D < 0, то f имеет седловую точку в точке (x0, y0).
Если D = 0, то тест не работает и никаких выводов сделать нельзя.