Помогите решить задачи

Question

Помогите решить задачи

олег олегов Ученик (95), на голосовании 1 год назад

n=6, m=4, k=20

1. В сундуке лежит очень большое количество ложек, одинаково запакованных. Одна четверть ложек золотые, а остальные деревянные. Три богатыря (все вместе) из сундука наугад выбирают n ложек.
а) найдите ожидаемое количество выбранных золотых ложек.
b) найдите вероятность того, что ровно три из этих ложек золотые.
c) найдите вероятность того, что по крайней мере две из этих ложек золотые.
d) найдите наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек.

На дорогу в стольный град, никого не пропуская, оглушая путешественников чудовищным свистом и ревом, Соловей Разбойник выходит в среднем два раза в неделю.
a) Какова вероятность того, что за февраль (4 недели) не менее m выходов Соловья?
b) Предположим, что год состоит из тринадцати периодов по четыре недели. Найдите вероятность того, что в этом году имеется более девяти четырехнедельных периодов, в течение которых происходит не менее m выходов Соловья
с) Учитывая, что вероятность того, что по крайней мере один выход Соловья произойдет за период R недель, больше, чем 0.99, найдите наименьшее возможное значение R (натуральное число)

Вероятность выигрыша в лотерею, организованную говорящим Дубом равна k · 0.03. Юлий решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет.
a) найдите вероятность того, что он будет участвовать в n-м тираже.
b) вычислите среднее число приобретенных Юлием билетов.
c) предполагая, что выигрыш составляет 10 рублей, а цена одного билета - 5 рублей, вычислите средний выигрыш Юлия.

Answer 1

a) Вероятность выбрать золотую ложку равна 1/4, тогда математическое ожидание количества выбранных золотых ложек равно:
E(X) = n * P(X = золотая) = n * 1/4 = 6 * 1/4 = 1.5

b) Вероятность выбрать три золотых ложки из n равна:
P(X = 3) = C(5, 3) * C(1, 0) / C(6, 3) = 10/20 = 1/2

c) Вероятность выбрать по крайней мере две золотых ложки равна:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - C(5, 0) * C(1, 6) / C(6, 6) - C(5, 1) * C(1, 5) / C(6, 6) = 1 - 1/64 - 5/64 = 58/64 = 29/32

d) Наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек будет равно целой части от математического ожидания, то есть 1 золотой ложке.

Answer 2

a) Обозначим за X количество выбранных золотых ложек. Тогда X - это сумма n независимых случайных величин, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью 1/4 (если выбрана золотая ложка) и 0 с вероятностью 3/4 (если выбрана деревянная ложка). Таким образом, X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p=1/4. Ожидаемое значение X равно np = n/4.

Ответ: Ожидаемое количество выбранных золотых ложек равно n/4.

b) Вероятность того, что ровно три из выбранных ложек золотые, равна вероятности того, что из n ложек выбраны ровно три золотых и n-3 деревянных. Это можно выразить с помощью биномиального распределения с параметрами n и p=1/4:

P(X=3) = C(n,3) * (1/4)^3 * (3/4)^(n-3),

где C(n,3) - число сочетаний из n элементов по 3.

Ответ: Вероятность того, что ровно три из выбранных ложек золотые, равна C(n,3) * (1/4)^3 * (3/4)^(n-3).

c) Вероятность того, что по крайней мере две из выбранных ложек золотые, равна 1 минус вероятность того, что ни одна из выбранных ложек не золотая. Вероятность того, что ни одна из выбранных ложек не золотая, равна (3/4)^n. Таким образом, вероятность того, что по крайней мере две из выбранных ложек золотые, равна 1 - (3/4)^n.

Ответ: Вероятность того, что по крайней мере две из выбранных ложек золотые, равна 1 - (3/4)^n.

d) Наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек соответствует максимуму биномиального распределения, который достигается при значении X, ближайшем к np. То есть наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек равно ближайшему целому к n/4.

Ответ: Наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек равно ближайшему целому к n/4

Answer 3

a) Вероятность выбрать золотую ложку равна 1/4, тогда математическое ожидание количества выбранных золотых ложек равно:
E(X) = n * P(X = золотая) = n * 1/4 = 6 * 1/4 = 1.5
b) Вероятность выбрать три золотых ложки из n равна:
P(X = 3) = C(5, 3) * C(1, 0) / C(6, 3) = 10/20 = 1/2

c) Вероятность выбрать по крайней мере две золотых ложки равна:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - C(5, 0) * C(1, 6) / C(6, 6) - C(5, 1) * C(1, 5) / C(6, 6) = 1 - 1/64 - 5/64 = 58/64 = 29/32

d) Наиболее вероятное количество выбранных золотых ложек будет равно целой части от математического ожидания, то есть 1 золотой ложке.