Задано отображение фи из R^3 в R^2
Задано отображение фи из R^3 в R^2 формулой фи(x1, x2, x3) = (3x1+2x2+x3, 3x1+2x2+3x3).
1) Проверить, что фи - линейный оператор
2) Записать его матрицу в стандартных базисах R^3 и R^2
3) Найти базисы его ядра и образа
Для проверки линейности необходимо показать, что для любых векторов u, v из R^3 и любого числа k выполняются следующие условия:
фи(u + v) = фи(u) + фи(v)
фи(ku) = kфи(u)
Рассмотрим произвольные векторы u = (u1, u2, u3) и v = (v1, v2, v3) из R^3 и число k. Тогда:
фи(u + v) = (3(u1+v1) + 2(u2+v2) + (u3+v3), 3(u1+v1) + 2(u2+v2) + 3(u3+v3))
= (3u1 + 2u2 + u3, 3u1 + 2u2 + 3u3) + (3v1 + 2v2 + v3, 3v1 + 2v2 + 3v3)
= фи(u) + фи(v)
фи(ku) = (3k u1 + 2k u2 + k u3, 3k u1 + 2k u2 + 3k u3)
= k(3u1 + 2u2 + u3, 3u1 + 2u2 + 3u3)
= kфи(u)
Таким образом, фи является линейным оператором.
Чтобы записать матрицу отображения фи в стандартных базисах R^3 и R^2, нужно вычислить образы базисных векторов e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) из R^3:
фи(e1) = (3, 3)
фи(e2) = (2, 2)
фи(e3) = (1, 3)
Запишу эти векторы как столбцы матрицы отображения:
| 3 2 1 |
| 3 2 3 |
Это матрица отображения фи в стандартных базисах R^3 и R^2.
Ядро отображения фи - это множество векторов из R^3, которые переходят в нулевой вектор в R^2. То есть необходимо решить систему уравнений:
3x1 + 2x2 + x3 = 0
3x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Выразив x3 через x1 и x2 из первого уравнения и подставив во второе, получим:
x3 = -3x1 - 2x2
3x1 + 2x2 - 9x1 - 6x2 = 0
x1 = -2x2
Таким образом, базисом ядра отображения фи является вектор (-2, 1, 0).