Найти интеграл cosx/sqrt(2+cos(2x))
Т.к. cos2x=1-2sin^2x, то сделав замену sinx=t придем к интегралу dt/sqrt(3-2t^2), который равен 1/sqrt(2) arcsin(sqrt(2/3)t)+C. Вернувшись к замене, получим
Давайте найдем неопределенный интеграл функции `cos(x)/sqrt(2+cos(2x))`. Для этого воспользуемся методом подстановки. Заметим, что производная `cos(2x)` равна `-2sin(2x)`, а производная `sin(x)` равна `cos(x)`. Поэтому попробуем сделать замену `u = sin(x)`. Тогда `du = cos(x)dx` и наш интеграл преобразуется в:
`integral of cos(x)/sqrt(2+cos(2x)) dx = integral of du/sqrt(2+1-2u^2)`
Теперь рассмотрим интеграл `integral of du/sqrt(3-2u^2)`. Этот интеграл можно вычислить с помощью тригонометрической подстановки. Пусть `u = sqrt(3/2)*sin(t)`, тогда `du = sqrt(3/2)*cos(t)dt` и наш интеграл преобразуется в:
`integral of du/sqrt(3-2u^2) = integral of (sqrt(3/2)*cos(t)dt)/sqrt(3-3*sin^2(t))`
`= integral of (sqrt(3/2)*cos(t)dt)/sqrt(3*cos^2(t))`
`= integral of sqrt(3/2)*dt`
`= sqrt(3/2)*t + C`
Теперь вернемся к переменной `u`. Имеем `u = sqrt(3/2)*sin(t)`, откуда `t = arcsin(u*sqrt(2/3))`. Тогда наш интеграл равен:
`integral of du/sqrt(3-2u^2) = sqrt(3/2)*arcsin(u*sqrt(2/3)) + C`
Возвращаясь к переменной `x`, получаем:
`integral of cos(x)/sqrt(2+cos(2x)) dx = sqrt(3/2)*arcsin(sin(x)*sqrt(2/3)) + C`
Это и есть ответ на задачу.