Можно ли ходить в тренажёрный зал без паспорта? Когда не исполнилось 14

Это зависит от Правил фитнес-центра, где находится этот тренажерный зал. У некоторых фитнес-центров это возраст 15 лет, в бассейн с 18 лет,но формально уже с 14 лет по ст.26 и 28 ГК РФ идет градация в плане прав: если до 14 лет нужно согласие родителей, то с 14 лет в ряде случаев оно уже не нужно. Но конкретно нужно спрашивать у администрации фитнес-центра.

Да, с треком "Качалка" точно пропустят

Ну если в правилах зала ограничений нет, то можно.
Вроде нужно письменное заявление от родителей в некоторых случаях т.е. если ты сломаешь что-то или убьешься, раздавит штангой череп в крошки раздробит, то отвественность только на родных будет.