Вопрос по Теории вероятности
Дана непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону. Известно, что ее среднее значение равно 0,8. Найти: а) параметр данного распределения и дисперсию случайной величины; б) дифференциальную и интегральную функции распределения, построить их графики; в) вероятность того, что в результате испытания эта случайная величина попадет в интервал (0,2, 5), показать эту вероятность на графике.
Че
а) Показательное распределение имеет следующую функцию плотности распределения вероятностей:
f(x) = λ * e^(-λx), где λ - параметр экспоненциального распределения.
Известно, что среднее значение случайной величины равно 0,8, значит:
E(X) = 1/λ = 0,8
Отсюда находим параметр λ:
λ = 1 / E(X) = 1 / 0,8 = 1,25
Теперь находим дисперсию случайной величины:
D(X) = 1 / λ^2 = 1 / 1,25^2 = 0,64
Таким образом, параметр λ показательного распределения равен 1,25, а дисперсия случайной величины равна 0,64.
б) Дифференциальная функция распределения для показательного распределения имеет вид:
F(x) = 1 - e^(-λx), x ≥ 0
Интегральная функция распределения:
f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0
График дифференциальной функции распределения:
Красная кривая на графике иллюстрирует cdf, а синяя линия - интервал (0.2, 5).
в) Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,2, 5), находится как разность значений функции распределения в концах интервала:
P(0.2 < X < 5) = F(5) - F(0.2) = (1 - e^(-1.25*5)) - (1 - e^(-1.25*0.2)) = 0.811
Графически, данная вероятность указывается на следующем графике:
