Почему работодатель не подписывает заявление,когда я хочу уволиться по состоянию здоровья?Если надо отлежаться 2 месяца

Увольняйся по собственному желанию две недели отработки

Что мешает просто взять больничный?

Потому что для увольнения по состоянию здоровья нужно заключение медкомиссии, в котором вы будете признаны либо полностью нетрудоспособным, либо неспособным выполнять вашу текущую работу, причём в последнем случае вас всё равно нельзя уволить сразу, а нужно сначала предложить вам перевод на другую работу.

А в вашем случае нужно просто взять больничный. Ну или написать по собственному, если всё-таки хотите уволиться.