Бывают ли квадратные уравнения с одним действительным и одним комплексным корнем? (Звучит странно)
Я задумался, если каждое квадратное уравнение ах2+бх+с=0 разложить на множители по формуле ах2+бх+с = а(х-х1) (х-х2), то что если вместо х1 и х2 подставить например 1 и i?
Из этого следует: (х-1) (х- i) = x²-ix-x+i=0
Пробуем решить через дискриминант
а=1;b = -i-1; c =i.
D=b²-4ac
D=-(1+i)² - 4i
D=-(1+2i-1) -4i
D=-2i-4i
D=-6i
-6i на комплексной плоскости расположен на 3π/2 по отношению к положительным действительным числам. Значит угол фи 3π/2.
Модуль комплексного числа равен 6. √(-6)²=√36=6
Подставляем в формулу для извлечения корней из комплексных чисел.
√-6i = √6(cos ((3π/2 + 2πk)/2) + i sin ((3π/2 + 2πk/2)))
Нас интересует только одно значение квадратного корня. Два его значения считать не обязательно (например, если в обычном квадратном уравнении вы встретите дискриминант 4,то его квадратный корень вы запишите как 2 (а не как ±2). Поэтому вместо k подставляем 0. Константа 1 не нужна. Получается следующая формула для извлечения корня:
√-6i = √6(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
cos 3π/4 = -√2/2
sin 3π/4 = √2/2
√-6i = √6(-√2/2 + i√2/2)
√-6i = -√12/2 + i√12/2
Подставляем:
x1,2 = 1+i ± (-√12/2 + i√12/2)
Рассмотрим первый случай
х1 = 1+i - √12/2 + i√12/2
√12≈3,46
x1 = 1+i -3,46/2 + 3,46i/2
x1 = 1+i -1,88 + 1,88i
x1 = -0,88 + 2,88i
Никаким 1 или i здесь не пахнет, следовательно второй корень уже можно в данном решении не искать, так как я, может быть, где то допустил ошибку, ибо уравнение х²-ix-x+i=0 по-любому должно решаться. Где я допустил ошибку? Как найти один комплексный и один действительный корень в данном уравнении?
Если разрешить комплексные коэффициенты, то да, бывают.
D=-(1+i)² - 4i
В этой строке первый минус лишний
PS
Оба корня ур-ния можно искать как (-b + D^(1/2))/(2a), где возведение в рац. степень - многозначная функция из ТФКП, например, 1^(1/2) = +/-1.
Может, если коэффициенты комплексные, например (х-5)*(х-1-i)=0
Т.к. корни уравнения равны (-b ± √ (b^2-4ac))/2a, то мнимую часть может дать только корень квадратный из дискриминанта. Если дискриминант отрицательный, то мы получим ПАРУ, комплексных сопряжённых чисел в качестве корней, а не один.
Существует квадратное уравнения, ровно один из двух комплексных корней которого является действительным. Это звучит не странно.
Сразу понятно, что мы уравнение на множестве комплексных чисел решаем.
В вашей формулировке это тоже понятно, но звучит она странно, потому что звучит странно! Она не является "строго типизированной".
Если мы решаем уравнение на множестве целых чисел, то его корни - целые числа. Еали решаем на множестве комплексных чисел, то его корни - комплексные числа. Если решаем на множестве вещественных квадратных матриц второго порядка, то его корни - вещественные квадратные матрицы второго порядка.