Помогите, пожалуста с векторами и базисом!!!!

Question

Помогите, пожалуста с векторами и базисом!!!!

Владимир Алексеев Ученик (208), закрыт 1 месяц назад

Медианы грани ABC тетраэдра ABCD пересекаются в точке O. Точка K делит ребро AD в отношении 3 : 1, считая от вершины A. Доказать, что векторы −→CA, −−→CB, −−→CD образуют базис в пространстве и разложить вектор −−→OK по этому базису.

Answer 1

Векторы CA, CB и CD образуют базис так как они не компланарны и не одна пара из этой тройки не коллинеарна.
Обозначим середину ВС буквой М. МС=ВС/2=-СВ/2. МА=СА+МС=СА-СВ/2. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то ОА=2МА/3=(2СА-СВ)/3=2CA/3-CB/3. AD=CD+AC=CD-CA. AK=AD×|AK|/|AD|=AD×|AK|/(|AK|+|KD|)=AD×3x/(3x+x)=3AD/4=3(CD-CA)/4=3СD/4-3CA/4. И наконец ОК=ОА+АК=2CA/3-CB/3+3СD/4-3CA/4=3СD/4-CB/3-СА/12=(9CD-4CB-CA)/12