Зачем необходимо каждый раз при вызове метода, который бросает исключение, всегда нужно обрабатывать вызов с try/catch?

Кому необходимо? Мне - нет. Есть масса способов пробросить исключение дальше и не морочить себе голову. Например, объявить его в сигнатуре своего метода:

 public void myBelovedMethod() throws StinkyException {
    callSomeThrowingStuff(); // вызываем метод, бросающий StinkyException
} 

Если этот вариант не подходит (руки связаны следованием кем-то другим заданному протоколу), то можно исключение поймать и переотбросить как RuntimeException, прицепив его туда.

 public void myBelovedMethod() {
    try {
        callSomeThrowingStuff(); // вызываем метод, бросающий StinkyException
    } catch (Exception e) {
        throw new RuntimeException(e);
    }
} 

Можно написать отдельный метод, принимающий функцию и упаковывающий её исключения.