Придумал такой мысленный эксперимент: Дан равнобедренный треугольник ABC...

Ну что ж, отвечу)) По логике вещей все это устремится в бесконечность, но чтобы у нас не было никаких разрывов / трансфонмаций 3-уг/ка в 4-уг/к, то при увеличении BD и сторон AB и BC, будет происходить пропорциональное уменьшение длины AC, и когда угл.А и угл.С достигнут 90 (ограничимся тем, что они просто стремятся к 90), то основание "сожмется в точку", то есть станет бесконечно малым по сравнению с бесконечно большими б.сторонами и высотой. Был треугольник, а стал отрезок.
В длине сказать не могу (длин тут вообще нет, да и никакого значения тут они не имеют), но если представить ABC как сектор круга, где BD - радиус, то б.стороны (как и BD) будут равны радиусу этой окружности.

Бесконечность, зависит от длины основания

Если углы плавно увеличиваются на 1° в секунду, то параллельность наступит в момент, когда углы станут равны 90°, то есть через 30 сек. Давайте возьмём момент, например, 29 секунд. Углы равны 89 градусов. Длина перпендикуляра уже будет очень большим, но теперь, будем брать время 29.5 секунд. За это время углы изменятся только на 0.5 градуса (будут 89.5°), но длина перпендикуляра станет сильно больше. Если взять 29.7 секунд, то длина станет ещё сильнее расти и т.д. Чем больше мы будем приближаться к 90°, тем быстрее ваш перпендикуляр будет расти.
То есть например (грубо говоря) в 29 секунд длина перпендикуляра равна х, через 0.5 секунд стала 2х, ещё через 0.3 секунды стала 4х и тд до бесконечности.
Таким образом, никогда не будет момента, когда сначала ваш перпендикуляр имел какую то длину х, а потом стал бесконечным. Его длина плавно идёт от фиксированной значения до бесконечности, просто все быстрее и быстрее

Бесконечность My life, каждый попадает в рай.

через 30 секунд стороны AB и BC станут не параллельными, а линией...
соответственно
AB + BC

Смотря,с какой скоростью удлиняется перпендикуляр