Какая из этих пословиц более правильная, хотя обе широко используются в обществе?

У них значение разное, причём тут правильность.
Фраза «Лучше поздно, чем никогда» означает что обещание, выполненное с опозданием, лучше несделанного дела.
«Поздно пить боржоми, когда почки отказали», фразеологизм подразумевает упущенный момент: то есть поздно что-либо предпринимать, когда сложившаяся ситуация не поддается исправлению.