Высшая математика. Ряды Фурье

Для разложения функции f(x) = e^(2x) в ряд Фурье по косинусам на интервале (0, π), мы можем воспользоваться следующей формулой:

a_n = (2 / π) ∫[0, π] f(x) cos(nπx / π) dx

где a_n - коэффициенты ряда Фурье для косинусов.

В данном случае:

f(x) = e^(2x)
a_n = (2 / π) ∫[0, π] e^(2x) cos(nπx / π) dx

Вычислим этот интеграл:

a_n = (2 / π) ∫[0, π] e^(2x) cos(nπx / π) dx
a_n = (2 / π) ∫[0, π] e^(2x) cos(nx) dx

Теперь, вычислим этот интеграл по частям. Для этого обозначим:

u = cos(nx) (выбираем как первую функцию)
dv = e^(2x) dx (выбираем как вторую функцию)

Тогда:

du = -n sin(nx) dx
v = (1/2) e^(2x)

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

a_n = (2 / π) [ (1/2) e^(2x) cos(nx) ∣[0, π] - (1/2) ∫[0, π] e^(2x) (-n sin(nx)) dx ]
a_n = (2 / π) [ (1/2) e^(2π) cos(nπ) - (1/2) e^(0) cos(0) + (n/2) ∫[0, π] e^(2x) sin(nx) dx ]

Теперь, вычислим этот интеграл:

∫[0, π] e^(2x) sin(nx) dx

Для этого снова используем интегрирование по частям:

u = sin(nx) (выбираем как первую функцию)
dv = e^(2x) dx (выбираем как вторую функцию)

Тогда:

du = n cos(nx) dx
v = (1/2) e^(2x)

Используя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫[0, π] e^(2x) sin(nx) dx = (1/2) e^(2x) sin(nx) ∣[0, π] - (1/2) ∫[0, π] e^(2x) (n cos(nx)) dx
∫[0, π] e^(2x) sin(nx) dx = (1/2) e^(2π) sin(nπ) - (1/2) e^(0) sin(0) - (n/2) ∫[0, π] e^(2x) cos(nx) dx

Теперь мы можем подставить это обратно в a_n:

a_n = (2 / π) [ (1/2) e^(2π) cos(nπ) - (1/2) e^(0) cos(0) + (n/2) ((1/2) e^(2π) sin(nπ) - (1/2) e^(0) sin(0) - (n/2) ∫[0, π] e^(2x) cos(nx) dx) ]

a_n = (1 / π) [ e^(2π) cos(nπ) - e^(0) cos(0) + n((1/2) e^(2π) sin(nπ) - (1/2) e^(0) sin(0) - (n/2) ∫[0, π] e^(2x) cos(nx) dx) ]

Теперь можно рассмотреть различные случаи в зависимости от значения n:

1. Для n = 0:
a_0 = (1 / π) [ e^(2π) - e^(0) ] = (1 / π) [ e^(2π) - 1 ]

2. Для n > 0:
a_n = (1 / π) [ e^(2π) cos(nπ) + n((1/2) e^(2π) sin(nπ) - (1/2) e^(0) sin(0) - (n/2) ∫[0, π) e^(2x) cos(nx) dx) ]

Эти коэффициенты a_n представляют коэффициенты ряда Фурье для косинусов функции f(x) = e^(2x) на интервале (0, π).

Давайте упростим коэффициенты для косинусов:

1. Для n = 0:
a_0 = (1 / π) [e^(2π) - 1]

2. Для n > 0:
a_n = (1 / π) [e^(2π) cos(nπ) + n((1/2) e^(2π) sin(nπ))]

Теперь можно записать разложение в ряд Фурье для функции f(x) = e^(2x) по косинусам на интервале (0, π):

f(x) = a_0/2 + ∑[n=1, ∞] a_n cos(nx)

Где a_0 и a_n определены как выше.