Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из
боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины,
противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и вписанной окружности.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит основание на две равные части и проводит через точку касания вписанной окружности.
Пусть `r` - радиус вписанной окружности, `a` - длина основания треугольника, `b` - длина боковой стороны. Тогда:
1. Высота треугольника `h = r * (5 + 3) = 8r`.
2. Половина основания треугольника `a/2 = sqrt(b^2 - (8r)^2)`.
3. По условию задачи, `b = r * (5 + 3) = 8r`.
Подставим `b` в формулу для `a/2` и найдем `a`:
`a/2 = sqrt((8r)^2 - (8r)^2) = 8r`,
`a = 2 * 8r = 16r`.
Теперь мы можем найти периметр треугольника:
`P = a + 2b = 16r + 2 * 8r = 32r`.
Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен `32r`.