Вычислить объем тела вращения. Помогите, пожалуйста.

Интригал тебе поможет. )))

Для расчета объема тела вращения можно воспользоваться формулой:

V = π∫[a,b] (f(x))^2 dx

где f(x) — функция, определяющая кривую, а [a,b] — интервал, на котором определена кривая.

В этом случае кривая определяется как y = 3x - x^2, и мы хотим найти объем, когда y = 0. Для этого нам нужно найти значения x, в которых кривая пересекает ось x.

Полагая y = 0, мы имеем:

0 = 3x - х^2

Переставив уравнение, получим:

х^2 - 3х = 0

Выводя x, мы имеем:

х(х - 3) = 0

Итак, х = 0 или х = 3.

Следовательно, интервал [a,b] равен [0, 3].

Теперь мы можем рассчитать объем по формуле:

V = π∫[0,3] (3x - x^2)^2 dx

Разложив квадрат, получим:

V = π∫[0,3] (9x^2 - 6x^3 + x^4) dx

Интегрируя каждое слагаемое, получаем:

V = π (3x^3/3 - 6x^4/4 + x^5/5) |[0,3]

Упрощая, имеем:

V = π (x^3 - 3x^4/2 + x^5/5) |[0,3]

Вычислив выражение при x = 3 и x = 0, получим:

V = π ((3^3 - 3(3)^4/2 + (3)^5/5) - (0^3 - 3(0)^4/2 + (0)^5/5))

В = π (27 – 81/2 + 243/5)

В = π (27/2 + 243/5)

В = π (135/10 + 486/10)

В = π (621/10)

Следовательно, объем тела вращения равен 621π/10 или примерно 194,37 кубических единиц.

V=π⋅∫
a
b
​
(f(x))
2
dx

Если вращается вокруг оси Ох