Помогите с решением неоднородного дифференциального уравнения Номер 736 П.Е. Данко y''-2cost+y=2sinxcost
Срочно нужна помощь, помогите прошу, это задание из учебника "Высшая математика в упражнениях и задачах", авторы П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, часть 2,2003 г.
y''-2cost+y=2sinxcost
y=y(общее решение ) + y (частное решение)
y''-(2cost-1)y=2sinxcost
y''+(1-2cost)=0
характеристическое уравнение
k^2+(1-2cost)=0
k^2=-(1-2cost)
корни характеристического уравнения
k1=+√(1-2cost)j
k2=-√(1-2cost)j
общее решение
y(oo) = C1cos(x√(1-2cost)) + C2sin(x√(1-2cost))
f(x) = 2sinxcost
частное решение
y(чн)=Acosx+Bsinx
Ответ должен получится такой, посмотрите второе фото. В третьем и четвертом мое незаконченное решение.
Ответ интересный, говорящий об уровне редактуры учебника.
В условии ошибка, которая тянется с 1986 года минимум, а это 4-е издание, т.е. там еще в трех до того, что было не нашел).
Вызвал вопрос такой записи уравнения, потому как нет смысла писать отдельно слагаемое с косинусом. И если предположить что там не функция, а ее первая производная, то все получается решение, ка в ответе.
Т.е. на лицо косяк авторов.
Теперь все же посмотрим на ваше решение "неправильного" уравнения. Вы в нем допустили ошибку с определением знака. Если посмотреть выше, то там в дискриминанте точно "-" и синус в квадрате, т.е. при любом синусе, у нас дискриминант отрицательный и решение единственное.
В варианте, что рассматриваете вы, там косинус в первой степени, потому он может поменять знак, а значит и решений будет три:
итак, продолжим ваше решение с характеристического уравнения, и выполним дополнительное исследование
Как видно правая часть может быть отрицательной, а может быть положительной. Рассмотрим все варианты.
Т.о. у вас задача распадается на три решения, каждое из которых вы потом отдельно рассматриваете и находите частное решение (да, они скорее всего будут различными).
Удачи!