Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону пополам. Найдите меньшую диагональ, если
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону пополам. Найдите меньшую диагональ, если его сторона равна 18 см
Меньшая диагональ = 18 см
В треугольнике , образованном меньшей диагональю ромба , высота является ещё и медианой так как делит его основание (сторону ромба) пополам.
Соответственно , треугольник равнобедренный
Следовательно , его боковые стороны (сторона ромба и меньшая диагональ ромба) - равны:
d = a = 18 см
Давайте обозначим высоту ромба, проведенную из вершины тупого угла, как \(h\). Так как эта высота делит сторону ромба пополам, то получаем, что одна половина стороны равна \( \frac{18}{2} = 9 \) см.
Теперь обратим внимание на получившийся прямоугольный треугольник, который образован высотой \(h\), половиной стороны ромба (9 см) и половиной меньшей диагонали ромба. По теореме Пифагора:
\[ h^2 + 9^2 = d^2 \]
где \(d\) - меньшая диагональ ромба. Разрешим уравнение для \(d\):
\[ h^2 + 81 = d^2 \]
Теперь нам нужно учесть, что высота ромба может быть выражена через его стороны. Ромб имеет четыре равные стороны, и высота ромба из вершины тупого угла может быть найдена, используя теорему Пифагора:
\[ h^2 + \left(\frac{18}{2}\right)^2 = 18^2 \]
Упростим это уравнение:
\[ h^2 + 81 = 324 \]
Теперь мы можем решить для \(h\):
\[ h^2 = 243 \]
\[ h = \sqrt{243} \]
\[ h = 3\sqrt{27} \]
\[ h = 3\sqrt{9 \cdot 3} \]
\[ h = 9\sqrt{3} \]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение для меньшей диагонали:
\[ (9\sqrt{3})^2 + 81 = d^2 \]
\[ 81 \cdot 3 + 81 = d^2 \]
\[ 324 = d^2 \]
\[ d = 18 \]
Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 18 см.