Решение олимпиадных задач по математике

(6 баллов) Петя сложил число и номер месяца своего дня рождения. Когда у Пети может быть день рождения, если в результате он
получил 42?



Задача №2
(7 баллов) На заборе написаны десять утверждений: «Неверных утверждений здесь на 1 больше, чем верных», «Неверных утверждений здесь на 2 больше, чем верных», ..., «Неверных утверждений здесь на 10 больше, чем верных». Сколько на самом деле среди этих утверждений неверных?

Задача №3
(8 баллов) На краю пустыни поселились Пожиратели Песка. Аппетит у них отменный: два Пожирателя съедают 1 тонну песка за 1 час. Сколько тонн песка могут съесть шесть Пожирателей за 24 часа, если после каждых двух часов еды им нужен час перерыва на
переваривание пищи?

Задача №4
(9 баллов) Коля выписал на доску все натуральные числа от 1 до n. Оказалось, что среди них восемь чисел делятся на 6 и шесть чисел делятся на 7. Чему может быть равно n?

Задача №5
(10 баллов) Какое наибольшее число кружочков можно закрасить на рисунке так, чтобы никакие три закрашенных кружочка не образовывали равносторонний треугольник?



Задача №6
(10 баллов) За круглым столом через равные промежутки сидят 20 мальчиков и 32 девочки. Известно, что если мальчик и девочка сидят рядом, то напротив них тоже сидит пара из мальчика и девочки. Сколько в этом круге мальчиков, которые сидят напротив девочек?

Задача №7
(11 баллов) Известно, что дроби x9/9y и x/y равны. Найдите разность y − x, если x и y – различные цифры.

Задача №8
(11 баллов) Палиндромом называется число, которое слева направо и справа налево читается одинаково. Сколько существует 100-значных чисел, в записи которых участвуют только цифры 1, 2, 3 и которые не содержат палиндромов длины более 1?

Задача №9
(13 баллов) На основании AC равнобедренного треугольника АВС взяли точку D так, что ∠ADB = 120°. Оказалось, что AD = 4, BD = 5. Найдите длину основания AC.


Задача №10
(15 баллов) Все натуральные делители двузначного числа выписали в порядке возрастания. Оказалось, что четвёртый делитель на два больше второго, а шестой – на три больше третьего. Чему может быть равно это двузначное число?