Найдите угол между векторами а {5; –2; 7} и b {7; 5; 2}.

Чтобы найти угол между двумя векторами a и b, используется формула через скалярное произведение векторов и их нормы:

cos(θ) = (a • b) / (||a|| * ||b||)

где a • b — скалярное произведение векторов, а ||a|| и ||b|| — нормы (длины) векторов.

Скалярное произведение двух векторов в трехмерном пространстве равно:

a • b = ax * bx + ay * by + az * bz

Для векторов a {5; –2; 7} и b {7; 5; 2}, скалярное произведение равно:

a • b = 5 * 7 + (-2) * 5 + 7 * 2 a • b = 35 - 10 + 14 a • b = 39

Норма вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его компонентов:

||a|| = sqrt(ax^2 + ay^2 + az^2) ||b|| = sqrt(bx^2 + by^2 + bz^2)

Для вектора a:

||a|| = sqrt(5^2 + (-2)^2 + 7^2) ||a|| = sqrt(25 + 4 + 49) ||a|| = sqrt(78)

Для вектора b:

||b|| = sqrt(7^2 + 5^2 + 2^2) ||b|| = sqrt(49 + 25 + 4) ||b|| = sqrt(78)

Теперь найдем косинус угла:

cos(θ) = 39 / (sqrt(78) * sqrt(78)) cos(θ) = 39 / 78 cos(θ) = 1/2

Угол, косинус которого равен 1/2, равен 60 градусам.