Линейная алгебра. Найти ортогональный базис подпространства 𝐿, заданного системой уравнений.
Найти ортогональный базис подпространства 𝐿, заданного системой уравнений.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 2𝑥5 = 0
Не до конца понимаю как получить систему векторов
Для нахождения ортогонального базиса подпространства, заданного данной системой уравнений, сначала нужно упростить эту систему. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную x3:
x1 + x2 + x4 - 3x5 = 0.
Теперь выразим x4 через x5: x4 = 3x5 - x1 - x2.
Подставим это выражение во второе уравнение и получим:
3x5 - x1 - x2 + x3 - 2x5 = 0,
или x3 = x1 + x2 - 5x5.
Таким образом, мы получили одномерное подпространство, которое задается уравнением x1 + x2 + x4 + x5 = 0 или x3 + x4 = x1 + x2. Из этого уравнения можно составить вектор x = (1, 1, -1, -1, 0), который является базисным вектором подпространства L. Этот вектор можно нормировать, разделив на его длину, чтобы получить ортонормированный базис: x’ = (√5)⁻¹ * x.