Почему детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов?

Чисто интуитивно. (Там всё немного сложнее.)

Величина детерминанта определяет, что происходит с расстояниями между точками пространства, когда пространство преобразуется под действием матрицы.

Большое значение детерминанта по абсолютной величине больше 1, говорит о том, что данная матрица задает такое преобразование пространства, при котором близкие друг другу точки оказываются на более удаленном расстоянии друг от друга.
Наоборот, если детерминант по модулю меньше 1, значит матрица задает какое-то сжатие пространства.
И наконец, если детерминант равен +1 или -1, то матрица с таким детерминантом преобразует пространство так, что сохраняет все расстояния между точками этого пространства.

Когда матрицы перемножаются, то результирующая матрица задает такое преобразование пространства, которое окончательно получается, если сначала преобразовать пространство правой матрицей в произведении, а потом левой. Понятно, что расстояния между точками будут преобразованы как произведение.

Проще всего это понять в случае одномерного пространства. Там всё это точно выполняется.
Если на вещественную прямую подействуем матрицей [5], то все расстояния между точками увеличатся в 5 раз. Если теперь еще раз подействуем матрицей [2], то расстояния увеличатся еще в 2 раза. Но суммарно, по сравнению со всеми расстояниями в первоначальном пространстве, все расстояния увеличатся в 10 раз. А это и есть произведение детерминантов этих матриц 5*2 = 10.
А если в этом примере после преобразования матрицей [5] сделать преобразование матрицей [0.2], то в финальном пространстве расстояния будут точно такие же, как в начальном пространстве, так как произведение детерминантов 5*0.2 = 1.

Знаки детерминанта матрицы задают отражения и инверсии. Так как перемножение двух отрицательных чисел дает положительное число, понятно, что двойное отражение восстанавливает неотраженное пространство.