Родители хотят переписать на меня долю в квартире, а у меня другая фамилия.

Нет.

Не повлияет

Ничего. Ну, кроме того, что потом муж может половину отпилить, при разводе

налог будете платить

Если отпишут по договору дарения, то ничего не будет, доля будет только вашей.
А вот по договору купли-продажи залёт, совместно нажитое

а смысл? пенсы не платят налог на единственное жилье, а тебе придется
да и смотри, как бы в детских пособиях по этой причине не отказали
если совсем другого жилья нет в собственности- тогда не отказывайся. но имей в виду регион прописки

нет

Переписать это что вообще такое? Подарить, завещать? В любом случае ваше семейное положение не играет роли. Но уже пора хотя бы какой-то элементарный юридический ликбез пройти. 21 век на дворе, информация общедоступна.