Доказать изоморфизм векторных пространств при одинаковой размерности

Общее поле предполагается.

Одинаковая размномсть означает, что базисы Гамеля (по конечным ЛК, не путать с Шаудэра) можно биективно отобразить друг на друга.
Отображаешь, сией биекцией порождаешь изоморфизм линейных пространств. Самостоятельно.

Есть интересное следствие.
Группы (C, +) и (R, +) изоморфны, т.к. C и R, как линейные пространства над полем рациональных чисел, континууммерны.
Но доказательство существования размерности этих пространств опирается на существование базисов Гамеля, существование этих базисов опирается на метод трансфинитной индукцим, а метод этот опирается на аксиому выбора.

Это не функан, это чистая линейная алгебра для первокурсников - о вопросах, так или иначе связынных с непрерывностью, тут никакой речи нет.