Найдите интервалы возрастания, убывания и экстремумы функций

Для нахождения интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции y=2x^3/3-3x^2/2+x, нужно сначала найти производную функции.

Производная функции y=2x^3/3-3x^2/2+x равна:

dy/dx = (2x^3/3-3x^2/2+x)' = (2/3)x^2 - (3/2)x + 1

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого найдем точки, где производная равна нулю:

(2/3)x^2 - (3/2)x + 1 = 0

Решая это уравнение, получим:

x = (3/4) ± (9/8)

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью x равны:

x1 = (3/4) - (9/8) = -1/2
x2 = (3/4) + (9/8) = 3/2

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого рассмотрим знак производной функции в интервалах (-∞, -1/2), (-1/2, 3/2) и (3/2, ∞).

В интервале (-∞, -1/2) производная функции отрицательна, следовательно, функция убывает.

В интервале (-1/2, 3/2) производная функции положительна, следовательно, функция возрастает.

В интервале (3/2, ∞) производная функции отрицательна, следовательно, функция убывает.

Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции y=2x^3/3-3x^2/2+x равны:

Интервал возрастания: (-1/2, 3/2)
Интервал убывания: (-∞, -1/2) и (3/2, ∞)

Теперь найдем экстремумы функции. Экстремумы - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. В данном случае производная функции существует и равна нулю в точках x1 = -1/2 и x2 = 3/2.

Таким образом, экстремумы функции y=2x^3/3-3x^2/2+x равны:

Минимум: (-1/2, -1/2)
Максимум: (3/2, 3/2)

В итоге, интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y=2x^3/3-3x^2/2+x равны:

Интервал возрастания: (-1/2, 3/2)
Интервал убывания: (-∞, -1/2) и (3/2, ∞)
Минимум: (-1/2, -1/2)
Максимум: (3/2, 3/2)