Решить задачу по олимпиадной математике

Обозначим первую группу чисел через A, а вторую — через B.

Рассмотрим число 3. У него 33 кратных, не превосходящих 100: 3, 6, 9, 12… Если так получится, что какое-то из этих чисел лежит в A, а какое-то другое — в B, то оба произведения групп делятся на 3 и, соответственно, их разность делится на 3 (а нам бы этого не хотелось, потому что никакая степень двойки не делится на 3). Поэтому все эти числа лежат в одном из множеств (скажем, в A).

• Поскольку 15 в A (так как делится на 3), то и все кратные 5 тоже в A (та же логика), то есть еще плюс 11 неучтенных чисел (которые делятся на 5, но не делятся на 3) в A
• Поскольку число 21 в A, то и все кратные 7 тоже в A, то есть еще плюс 5 неучтенных чисел (7, 14, 28, 49, 56)
• Поскольку 33 в A, то и все кратные 11 тоже в A, а это еще плюс 4 числа (11, 22, 44, 88)

Беда: в A уже 33 + 11 + 5 + 4 = 53 числа, а мы пока даже не уверены, что собрали в A все необходимые числа (а ведь там еще все кратные 13, 17, 19, 23, 29 и 31 а это еще как минимум 16 чисел)

Ответ: нет, так не получится. Как числа от 1 до 100 на две равные группы ни разбей, в обеих найдутся кратные одному из маленьких простых чисел