1. Частное решение дифференциального уравнения: х+уу'=0, если у(1)=2 2. Найдите неопределëнный интеграл: инт. ctgxdx

Question

1. Частное решение дифференциального уравнения: х+уу'=0, если у(1)=2 2. Найдите неопределëнный интеграл: инт. ctgxdx

Лора Дильман Ученик (96), закрыт 1 неделю назад

Признаюсь - ничего не понимаю в математике, а экзамен идëт, помогите, пожалуйста. :(

Answer 1

1. Разделяем переменные:
y dy = -x dx
Интегрируем обе части уравнения:
∫ y dy = - ∫ x dx
0,5у² = -0,5x² + C
Подставляем начальные данные:
0,5•2² = -0,5•1² + C
C = 2,5
Частное решение исходного уравнения
x² + y² = 5 - это решение в виде неявной функции
Проверка:
(x² + y²)' = (5)'
2x + 2yy' = 2•(x + yy') = 0
Интегральной кривой при указанных начальных данных является окружность радиуса √5. Именно окружность, а не полуокружность у=√(5-x²), что, естественно, неверно!

2. Это табличный интеграл:
∫ ctg x dx = ㏑|sin x| + C

Answer 2

hippie Просветленный (26385) 1 месяц назад

Это уравнение с разделяющимися переменными.
y*(dy/dx) = -x
y dy = -x dx
Интегрируя получаем:
(y^2)/2 = -(x^2)/2 + C
y = +-sqrt(2C-x^2)
Из начальных условий 2C = 5, а знак перед корнем +, т.е.
Ответ: y = sqrt(5-x^2).

\int(ctg(x) dx) = \int(cos(x)/sin(x) dx) = \int(dsin(x) /sin(x)) = ln|sin(x)| + C.

Ксения РайтГений (86469) 1 месяц назад

По-моему в 1. всё таки другое решение - почти как у меня х²+у²=5, но не совсем! А конкретно
y = √(5-x²) (- √5 ≤ x ≤ √5)
и х = √(5-у²) (- √5 ≤ y ≤ √5)
Это окружность х²+у²=5, но без своей дуги, лежащей в третьем квадранте.

hippie Просветленный (26385) Ксения Райт, Вполне возможно. Но вообще=то уравнение содержит y'. А в точке (sqrt(5), 0) y' не существует. (Бесконечность это не число.)